球表面的小矩形到 z 轴的距离为 \( d \)，投影到半径为 \( R \) 的圆柱时：
宽度拉伸比例 = \( \frac{R}{d} \)（距离 z 轴越远，拉伸比例越小）
极点附近的矩形拉伸最明显，赤道附近拉伸最弱
球的参数
- 半径：\( R \)
- 直径（高度）：\( 2R \)
- 表面积：\( 4\pi R^2 \)
阿基米德圆柱参数
- 底面半径：\( R \)
- 高度：\( 2R \)（与球直径相等）
- 侧面积：\( 2\pi R \times 2R = 4\pi R^2 \)
圆柱侧面积的本质：展开的矩形
将圆柱的侧面（不含上下底面）沿母线剪开并展开，会得到一个规则的矩形：
矩形的宽 = 圆柱底面周长 = \( 2\pi R \)
矩形的高 = 圆柱的高度 = \( 2R \)（与球直径相等）
矩形面积（圆柱侧面积）= 宽 × 高 = \( 2\pi R \times 2R = 4\pi R^2 \)
圆柱侧面展开为矩形
圆柱的底面半径 \( R \) 和高度 \( 2R \)
核心原理：球表面的小矩形与圆柱投影
用无数个微小矩形近似覆盖球的表面，将这些小矩形沿 z 轴方向向外投影到圆柱表面：
每个球表面的小矩形，其面积 = 对应的圆柱表面投影矩形面积
关键：投影过程中，两个相反效应完美抵消，实现面积守恒
球表面的微小矩形（蓝色）投影到圆柱表面（红色），面积保持不变
两个抵消的关键效应
1. 宽度拉伸效应
宽度拉伸比例 \( \frac{R}{d} \)
2. 高度压缩效应
球表面的小矩形与 z 轴成倾斜角，投影时高度会被压缩：
高度压缩比例 = \( \frac{d}{R} \)（倾斜角越大，压缩比例越大）
极点附近的矩形压缩最明显，赤道附近压缩最弱
高度压缩比例 \( \frac{d}{R} \)
拉伸比例 × 压缩比例 = \( \frac{R}{d} \times \frac{d}{R} = 1 \) → 面积守恒！
从圆柱侧面积到四个圆
圆柱侧面积（即球的表面积）= \( 4\pi R^2 \)，恰好是 4 个半径为 \( R \) 的圆的面积之和：
1 个圆的面积：\( \pi R^2 \)
4 个圆的面积：\( 4 \times \pi R^2 = 4\pi R^2 \)
直观关联：将每个圆“展开”为三角形，4 个这样的三角形可完美拼接成圆柱展开后的矩形
1 个圆展开为底 = \( 2\pi R \)、高 = \( R \) 的三角形
4 个三角形拼接为圆柱展开的矩形（面积 \( 4\pi R^2 \)）
核心结论总结
- 1. 球的表面积 = 同半径、同高度的阿基米德圆柱侧面积
- 2. 圆柱侧面积 = 展开矩形面积 = \( 2\pi R \times 2R = 4\pi R^2 \)
- 3. 投影过程中，宽度拉伸与高度压缩完美抵消，实现面积守恒
\( S_{\text{球表面}} = 4\pi R^2 = 4 \times S_{\text{圆}} \)
